関数データ解析（Functional data analysis）について - データサイエンティスト上がりのDX参謀・起業家

教科書はこちら。

Functional Data Analysis (Springer Series in Statistics)

作者: James Ramsay,B. W. Silverman
出版社/メーカー: Springer
発売日: 2005/07/01
メディア: ハードカバー
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Silverman先生は確かカーネル回帰などノンパラ法の権威。

webの資料は以下の2つがあります。

http://www.r-project.org/conferences/useR-2007/program/presentations/ramsay.pdf
http://ego.psych.mcgill.ca/misc/fda/index.html

Rのパッケージ：fda

作者：Ramsay（教科書の作者と同じ）
内容：主に時系列データに対して、何らかの滑らかな関数を当てはめる
8種の基底関数：constant, monomial, polynomial, polygonal, B-splines, power, exponential, and Fourier
- 定数、単項式、多項式、多角形、Bスプライン、累乗関数、指数関数、フーリエ関数
観測ポイントの数が異なっていても解析可能
関数解析の手順
1. 基底関数の選択
2. smoothing operatorの設定
  - ベイズの事前確率と同値
3. 目的関数を最適化して係数を計算
4. モデル評価、残差プロット
5. 仮説検定

基底関数：f(t) = a1φ1(t) + a2φ2(t) + .... + akφk(t)
- 多項式：1, t, t^2, ... , t^k
  - 昔ながらの方法
  - パラメータ推定が簡単なので手計算でやってた頃は重宝された
- フーリエ関数：1, sin(ωt), cos(ωt), sin(2ωt), cos(2ωt), sin(3ωt), cos(3ωt),....
  - 19世紀初頭のフランスで使われていた
  - 周期性のあるデータに用いる
- spline、wavelet

Flexibility：多くの曲線は特定の場所で尖った形をしていることが多い
- 多項式：多くの項を入れないと対応できない
- スプライン：いろんな曲線にfitしやすい
- フーリエ：急激な変化に対応しにくい
- ウェーブレット：急激な変化に強い

微分関数がモデリングに大きな役割を担っている

fdaパッケージに入っているサンプルデータ
- gait

#---Hip and knee angle in degrees through a 20 point movement cycle for 39 boys
matplot(gait[, 1:10, 1], gait[, 1:10, 2], type="b", xlab = "hip angle", ylab = "knee angle", lwd = 2)
matplot(gait[, 1:39, 1], gait[, 1:39, 2], type="b", xlab = "hip angle", ylab = "knee angle", lwd = 2)

- growth

#---A list containing the heights of 39 boys and 54 girls from age 1 to 18 and the ages at which they were collected.
with(growth, matplot(age, hgtf[, 1:10], type="b"))
with(growth, matplot(age, hgtm[, 1:39], type="b"))
with(growth, matplot(age, hgtf[, 1:54], type="b"))

matplot(growth$age, data.frame(growth$hgtm[, 1:10], growth$hgtf[, 1:10]), type = "b")
matplot(growth$age, data.frame(growth$hgtm[, 1:39], growth$hgtf[, 1:54]), type = "b")

- handwrite

#---handwrit An array of dimensions (1401, 20, 2) giving 1401 pairs of (x, y) coordinates for each
#---of 20 replicates of cursively writing "fda"
matplot(handwrit[, 1:20, 1], handwrit[, 1:20, 2], type="l")

- pinch

#---151 measurements of pinch force during 20 replications with time from start of measurement.
matplot (pinchtime, pinch, type="l", cex=2,
  lwd=1, xlab = "Seconds", ylab="Force (N)")
abline(h=2, v=0.075, lty=2)

その他のRのパッケージ

pfda
- paired FDA
ptsa
- functional time series analysis
fpca
- functional principal components
MFDA
- model based functional clustering
- http://genemerge.cbcb.umd.edu/online/SSC.pdf
demography
- functional data analysis of mortality rates

MDFAでの解析例

MFDAパッケージの使用例を紹介します。

この論文の内容がパッケージ化されたものです。

http://genemerge.cbcb.umd.edu/online/SSC.pdf

MFDAパッケージに入っているサンプルデータはこのようになっています。

library(MFDA)
data("testdata")
matplot(1:10,t(testdata), type = "b", xlab = "x", ylab = "y", main = "usedata")

これは次の4つの関数から発生させたデータ集合です。

-exp(tt)/1000：30カーブ
tan(tt)：40カーブ
5 *(tt - 4)^2/max((tt - 4)^2)：50カーブ
cos(tt)：30カーブ

このデータを関数クラスタリングによってクラスタリングすると次のようになります。

my.clust <- MFclust(testdata,minG=3,maxG=5,nchain=1,iter.max=1)
matplot(1:10,t(testdata), type = "l", col = my.clust$clust, lty = 1, xlab = "x", ylab = "y", main = "cluster by MEDA")